Diseño de reactores. Parte 5. Una aplicación en ecología de poblaciones.

Diseño de reactores. Parte 5. Una aplicación en ecología de poblaciones.

Este ejercicio está basado en el problema 18A de Fogler (2001).

Inicialmente hay 500 conejos (x) y 200 zorros (y) en los terrenos del granjero Olaf. Use POLYMATH o MATLAB para graficar la concentración de zorros y conejos en función del tiempo para un periodos de hasta 500 días. Las relaciones depredador-presa están dadas por el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas:

dx/dt=k1*x-k2*x*y

dy/dt=k3*x*y-k4*y

La constante para el crecimiento de la población de conejos k1=0.02 día-1; la constante para la muerte de conejos k2=0.00004/(día*número de zorros); la constante para el crecimiento de la población de zorros después de comer conejos k3=0.0004 /(día*número de conejos); la constante para la muerte de zorros k4=0.04 dia-1.

¿Qué resultados obtiene para el caso k3=0.00004 /(día*número de conejos) y tfinal=800 días? Grafique también el número de zorros contra el número de conejos. Explique por qué las curvas tienen el aspecto que tienen.

Varíe los valores de los parámetros k1, k2, k3 y k4. Explique cuáles parámetros pueden o no ser más grandes que otros. Escriba un párrafo que describa sus hallazgos.

Se escribieron dos programas, foglercap1ej18A.m y foglercap1ej18Arun.m, el primero con el planteamiento del problema y el segundo con las instrucciones para ejecutar la solución. Se graficó el problema para una duración de la simulación de 500 y 1500 días (Figuras 6 y 7). A continuación se presenta el código de los dos programas mencionados.

% foglercap1ej18A

function dy=foglercap1ej18A(t,y)

k1=0.02;    % constante para el crecimiento de la poblacion de conejos (dia^-1)

k2=0.00004; % constante para el decrecimiento (muerte) de la poblacion de conejos ((dia*#zorros)^-1)

k3=0.0003;  % constante para crecimiento de poblacion de zorros despues haber comido conejos ((dia*#conejos)^-1)   

k4=0.04;    % constante para el decrecimiento (muerte) de la poblacion de zorros (dia^-1)

dy=zeros(2,1);

dy(1)=k1*y(1)-k2*y(1)*y(2);     % poblacion de conejos

dy(2)=k3*y(1)*y(2)-k4*y(2);     % poblacion de zorros

% foglercap1ej18Arun

[t,y]=ode45('foglercap1ej18A',[0 500],[500 200]);

[t,y(:,1),y(:,2)]

[t(end),y(end,1),y(end,2)]

plot(t,y(:,1),'b*',t,y(:,2),'k+')

xlabel('tiempo (dias)')

ylabel('poblacion (individuos)')

title('interacciones de una poblacion de conejos y una poblacion de zorros')

grid

text(100,2250,'+ conejos')

text(100,2750,'* zorros')

Figura 6. Gráfico de 500 días para la interacción entre una población de conejos (presa) y una de zorros (depredador).

La población de conejos alcanza un máximo a los 10 días, cuando la población de zorros es de 638 animales (t=10.0; conejos=525.6; zorros=638.6). La población de zorros contunúa aumentando velozmente hasta un máximo de 2979 animales, mientras que la población de conejos ha resultado mermada hasta 137 animales (t=33.0; conejos=137.4; zorros=2979.2). La población de conejos sigue disminuyendo rápidamente llegando a un mínimo de 10 animales en el día 92 de la simulación (t=92.0; conejos=10.4; zorros=483.9). A partir de este punto la población de conejos se recupera con lentitud, mientras que la población de zorros alcanza un mínimo de 7 animales en el día 242 de la simulación (t=242.7; conejos=123.4; zorros=7.3). Ambas poblaciones continúan recuperándose y la población de conejos alcanza los 500 individuos (la población inicial) a los 319 días de la simulación (t=319.0; conejos=511.9; zorros=219.1). Un nuevo máximo de conejos se alcanza a los 325 días de la simulación (t=325.7; conejos=535.2; zorros=487.6) y un nuevo máximo de zorros se alcanza a los 351 días de la simulación (t=351.9; conejos=123.7; zorros=3021.0).

Figura 7. Gráfico de 1500 días para la interacción de una población de conejos y una de zorros.

Figura 8. Gráfico de una simulación de 15000 días de duración. Los máximos de poblaciones de conejos y zorros se presentan cada vez en números más elevados.

Figura 9. Gráfico para la interacción de una población de conejos y una población de zorros con una duración de 500 días. Se cambió el valor de la constante k3 (k3=0.00004).

Figura 10. Gráfico de la interacción de una población de conejos y una población de zorros con duración de 15000 días. Se utilizó el valor de la constante k3=0.00004. Ahora la población de conejos se hace mayor que la población de zorros, además de que los máximos alcanzan un valor más o menos semejante en cada pico.

Figura 11. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera: k1>k4>k2=k3. k1=0.04; k2=0.00004; k3=0.00004; k4=0.02.

Figura 12. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera: k1>k4>k2=k3. k1=0.04; k2=0.00004; k3=0.00004; k4=0.02.

Figura 13. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera: k1>k4>k2=k3. k1=0.2; k2=0.00004; k3=0.00004; k4=0.004.

Figura 14. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera: k1>k4>k2=k3. k1=0.2; k2=0.00004; k3=0.00004; k4=0.004.

Figura 15. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera: k1>k2=k4>k3. k1=0.2; k2=0.004; k3=0.00004; k4=0.004.

Figura 16. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera: k1>k2=k4>k3. k1=0.2; k2=0.004; k3=0.00004; k4=0.004.

Figura 17. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera: k2>k1>k3>k4. k1=0.02; k2=0.04; k3=0.004; k4=0.0004.

Figura 18. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera: k2>k1>k3>k4. k1=0.02; k2=0.04; k3=0.004; k4=0.0004.

Figura 19. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera: k2=k4>k1=k3. k1=0.0002; k2=0.04; k3=0.0002; k4=0.04.

Figura 20. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera: k2=k4>k1=k3. k1=0.0002; k2=0.04; k3=0.0002; k4=0.04.

Bibliografía

Fogler, H.Scot. 2001. Elementos de ingeniería de las reacciones químicas. Tercera edición. Pearson Educación. México.