Diseño
de reactores. Parte 5. Una aplicación en ecología de poblaciones.
Este
ejercicio está basado en el problema 18A de Fogler (2001).
Inicialmente hay 500 conejos (x) y 200 zorros (y) en los terrenos del granjero Olaf. Use POLYMATH o MATLAB para graficar la concentración de zorros y conejos en función del tiempo para un periodos de hasta 500 días. Las relaciones depredador-presa están dadas por el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas:
dx/dt=k1*x-k2*x*y
dy/dt=k3*x*y-k4*y
La
constante para el crecimiento de la población de conejos k1=0.02 día-1; la
constante para la muerte de conejos k2=0.00004/(día*número de zorros); la
constante para el crecimiento de la población de zorros después de comer
conejos k3=0.0004 /(día*número de conejos); la constante para la muerte de
zorros k4=0.04 dia-1.
¿Qué
resultados obtiene para el caso k3=0.00004 /(día*número de conejos) y
tfinal=800 días? Grafique también el número de zorros contra el número de
conejos. Explique por qué las curvas tienen el aspecto que tienen.
Varíe
los valores de los parámetros k1, k2, k3 y k4. Explique cuáles parámetros
pueden o no ser más grandes que otros. Escriba un párrafo que describa sus
hallazgos.
Se
escribieron dos programas, foglercap1ej18A.m y foglercap1ej18Arun.m, el primero
con el planteamiento del problema y el segundo con las instrucciones para
ejecutar la solución. Se graficó el problema para una duración de la simulación
de 500 y 1500 días (Figuras 6 y 7). A continuación se presenta el código de los
dos programas mencionados.
%
foglercap1ej18A
function
dy=foglercap1ej18A(t,y)
k1=0.02; % constante para el crecimiento de la
poblacion de conejos (dia^-1)
k2=0.00004;
% constante para el decrecimiento (muerte) de la poblacion de conejos
((dia*#zorros)^-1)
k3=0.0003; % constante para crecimiento de poblacion de
zorros despues haber comido conejos ((dia*#conejos)^-1)
k4=0.04; % constante para el decrecimiento (muerte)
de la poblacion de zorros (dia^-1)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=k1*y(1)-k2*y(1)*y(2); % poblacion de conejos
dy(2)=k3*y(1)*y(2)-k4*y(2); % poblacion de zorros
%
foglercap1ej18Arun
[t,y]=ode45('foglercap1ej18A',[0
500],[500 200]);
[t,y(:,1),y(:,2)]
[t(end),y(end,1),y(end,2)]
plot(t,y(:,1),'b*',t,y(:,2),'k+')
xlabel('tiempo
(dias)')
ylabel('poblacion
(individuos)')
title('interacciones
de una poblacion de conejos y una poblacion de zorros')
grid
text(100,2250,'+ conejos')
text(100,2750,'* zorros')
Figura
6. Gráfico de 500 días para la interacción entre una población de conejos
(presa) y una de zorros (depredador).
La
población de conejos alcanza un máximo a los 10 días, cuando la población de
zorros es de 638 animales (t=10.0; conejos=525.6; zorros=638.6). La población
de zorros contunúa aumentando velozmente hasta un máximo de 2979 animales,
mientras que la población de conejos ha resultado mermada hasta 137 animales
(t=33.0; conejos=137.4; zorros=2979.2). La población de conejos sigue
disminuyendo rápidamente llegando a un mínimo de 10 animales en el día 92 de la
simulación (t=92.0; conejos=10.4; zorros=483.9). A partir de este punto la
población de conejos se recupera con lentitud, mientras que la población de
zorros alcanza un mínimo de 7 animales en el día 242 de la simulación (t=242.7;
conejos=123.4; zorros=7.3). Ambas poblaciones continúan recuperándose y la
población de conejos alcanza los 500 individuos (la población inicial) a los
319 días de la simulación (t=319.0; conejos=511.9; zorros=219.1). Un nuevo
máximo de conejos se alcanza a los 325 días de la simulación (t=325.7;
conejos=535.2; zorros=487.6) y un nuevo máximo de zorros se alcanza a los 351
días de la simulación (t=351.9; conejos=123.7; zorros=3021.0).
Figura
7. Gráfico de 1500 días para la interacción de una población de conejos y una
de zorros.
Figura
8. Gráfico de una simulación de 15000 días de duración. Los máximos de
poblaciones de conejos y zorros se presentan cada vez en números más elevados.
Figura
9. Gráfico para la interacción de una población de conejos y una población de
zorros con una duración de 500 días. Se cambió el valor de la constante k3
(k3=0.00004).
Figura
10. Gráfico de la interacción de una población de conejos y una población de
zorros con duración de 15000 días. Se utilizó el valor de la constante
k3=0.00004. Ahora la población de conejos se hace mayor que la población de
zorros, además de que los máximos alcanzan un valor más o menos semejante en
cada pico.
Figura
11. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de
conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera:
k1>k4>k2=k3. k1=0.04; k2=0.00004; k3=0.00004; k4=0.02.
Figura
12. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de
conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera:
k1>k4>k2=k3. k1=0.04; k2=0.00004; k3=0.00004; k4=0.02.
Figura
13. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de
conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera:
k1>k4>k2=k3. k1=0.2; k2=0.00004; k3=0.00004; k4=0.004.
Figura
14. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de
conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera:
k1>k4>k2=k3. k1=0.2; k2=0.00004; k3=0.00004; k4=0.004.
Figura
15. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de
conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera:
k1>k2=k4>k3. k1=0.2; k2=0.004; k3=0.00004; k4=0.004.
Figura
16. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de
conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera:
k1>k2=k4>k3. k1=0.2; k2=0.004; k3=0.00004; k4=0.004.
Figura
17. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de
conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera:
k2>k1>k3>k4. k1=0.02; k2=0.04; k3=0.004; k4=0.0004.
Figura
18. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de
conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera:
k2>k1>k3>k4. k1=0.02; k2=0.04; k3=0.004; k4=0.0004.
Figura
19. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de
conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera:
k2=k4>k1=k3. k1=0.0002; k2=0.04; k3=0.0002; k4=0.04.
Figura
20. Gráfico de interacción de una población de zorros y una población de
conejos, variando los valores de las constantes de la siguiente manera:
k2=k4>k1=k3. k1=0.0002; k2=0.04; k3=0.0002; k4=0.04.
Bibliografía
Fogler,
H.Scot. 2001. Elementos de ingeniería de las reacciones químicas. Tercera
edición. Pearson Educación. México.
